Les modèles ARIMA sont, en théorie, la classe la plus générale de modèles pour la prévision d'une série temporelle qui peut être rendue 8220stationnaire8221 par différenciation (si nécessaire), peut-être En conjonction avec des transformations non linéaires telles que l'abattage ou le dégonflage (si nécessaire). Une variable aléatoire qui est une série temporelle est stationnaire si ses propriétés statistiques sont toutes constantes dans le temps. Une série stationnaire n'a pas de tendance, ses variations autour de sa moyenne ont une amplitude constante, et elle se balance d'une manière cohérente. C'est-à-dire que ses schémas de temps aléatoires à court terme ont toujours la même signification statistique. Cette dernière condition signifie que ses autocorrélations (corrélations avec ses propres écarts précédents par rapport à la moyenne) restent constantes dans le temps, ou de manière équivalente, que son spectre de puissance reste constant dans le temps. Une variable aléatoire de cette forme peut être considérée (comme d'habitude) comme une combinaison de signal et de bruit, et le signal (si l'on est apparent) pourrait être un modèle de réversion moyenne rapide ou lente, ou oscillation sinusoïdale, ou alternance rapide de signe , Et il pourrait également avoir une composante saisonnière. Un modèle ARIMA peut être considéré comme un 8220filter8221 qui essaie de séparer le signal du bruit, et le signal est ensuite extrapolé dans l'avenir pour obtenir des prévisions. L'équation de prévision d'ARIMA pour une série temporelle stationnaire est une équation linéaire (c'est-à-dire de type régression) dans laquelle les prédicteurs sont constitués par des décalages de la variable dépendante et / ou des décalages des erreurs de prévision. Valeur prédite de Y une constante et / ou une somme pondérée d'une ou plusieurs valeurs récentes de Y et / ou d'une somme pondérée d'une ou plusieurs valeurs récentes des erreurs. Si les prédicteurs se composent uniquement de valeurs décalées de Y. il s'agit d'un modèle autoregressif pur (8220 auto-régressé8221), qui est juste un cas particulier d'un modèle de régression et qui pourrait être équipé d'un logiciel de régression standard. Par exemple, un modèle autorégressif de premier ordre (8220AR (1) 8221) pour Y est un modèle de régression simple dans lequel la variable indépendante est juste Y retardée d'une période (LAG (Y, 1) dans Statgraphics ou YLAG1 dans RegressIt). Si certains des prédicteurs sont des retards des erreurs, un modèle ARIMA, il n'est pas un modèle de régression linéaire, car il n'y a aucun moyen de spécifier 8220last période8217s error8221 comme une variable indépendante: les erreurs doivent être calculées sur une période à période de base Lorsque le modèle est adapté aux données. Du point de vue technique, le problème de l'utilisation d'erreurs retardées comme prédicteurs est que les prédictions du modèle 8217 ne sont pas des fonctions linéaires des coefficients. Même s'ils sont des fonctions linéaires des données passées. Ainsi, les coefficients dans les modèles ARIMA qui incluent des erreurs retardées doivent être estimés par des méthodes d'optimisation non linéaires (8220hill-climbing8221) plutôt que par la simple résolution d'un système d'équations. L'acronyme ARIMA signifie Auto-Regressive Integrated Moving Average. Les Lags de la série stationnaire dans l'équation de prévision sont appelés termes contingentoréducteurs, les retards des erreurs de prévision sont appelés quotmoving averagequot terms et une série chronologique qui doit être différenciée pour être stationnaire est dite être une version quotintegratedquot d'une série stationnaire. Les modèles de Random-Walk et de tendance aléatoire, les modèles autorégressifs et les modèles de lissage exponentiel sont des cas particuliers de modèles ARIMA. Un modèle ARIMA non saisonnier est classé comme un modèle quotARIMA (p, d, q), où: p est le nombre de termes autorégressifs, d est le nombre de différences non saisonnières nécessaires pour la stationnarité, et q est le nombre d'erreurs de prévision retardées dans L'équation de prédiction. L'équation de prévision est construite comme suit. En premier lieu, y désigne la différence d ème de Y. ce qui signifie: Notez que la deuxième différence de Y (le cas d2) n'est pas la différence de 2 périodes. Au contraire, c'est la première différence de la première différence. Qui est l'analogue discret d'une seconde dérivée, c'est-à-dire l'accélération locale de la série plutôt que sa tendance locale. En termes de y. L'équation de prévision générale est: Ici, les paramètres de la moyenne mobile (9528217s) sont définis de sorte que leurs signes soient négatifs dans l'équation, suivant la convention introduite par Box et Jenkins. Certains auteurs et logiciels (y compris le langage de programmation R) les définissent de sorte qu'ils ont des signes plus à la place. Lorsque les nombres réels sont branchés dans l'équation, il n'y a pas d'ambiguïté, mais il est important de savoir quelle convention votre logiciel utilise lorsque vous lisez la sortie. Souvent, les paramètres y sont indiqués par AR (1), AR (2), 8230 et MA (1), MA (2), 8230, etc. Pour identifier le modèle ARIMA approprié pour Y. vous commencez par déterminer l'ordre de différenciation D) le besoin de stationner la série et de supprimer les caractéristiques brutes de la saisonnalité, peut-être en conjonction avec une transformation de stabilisation de la variance telle que l'abattage ou le dégonflage. Si vous vous arrêtez à ce point et que vous prédisez que la série différenciée est constante, vous avez simplement mis en place une marche aléatoire ou un modèle de tendance aléatoire. Cependant, la série stationnaire peut toujours avoir des erreurs autocorrélées, ce qui suggère qu'un certain nombre de termes AR (p 8805 1) et / ou certains termes MA (q 8805 1) sont également nécessaires dans l'équation de prévision. Le processus de détermination des valeurs de p, d et q qui sont les meilleurs pour une série temporelle donnée sera discuté dans des sections ultérieures des notes (dont les liens sont en haut de cette page), mais un aperçu de certains des types Des modèles non saisonniers ARIMA qui sont couramment rencontrés est donné ci-dessous. ARIMA (1,0,0) modèle autorégressif de premier ordre: si la série est stationnaire et autocorrélée, peut-être peut-elle être prédite comme un multiple de sa propre valeur précédente, plus une constante. L'équation de prévision dans ce cas est 8230 qui est Y régressée sur elle-même décalée d'une période. Il s'agit d'un 8220ARIMA (1,0,0) constant8221 modèle. Si la moyenne de Y est nulle, alors le terme constant ne serait pas inclus. Si le coefficient de pente 981 1 est positif et inférieur à 1 dans l'amplitude (il doit être inférieur à 1 dans l'amplitude si Y est stationnaire), le modèle décrit le comportement de réverbération moyen dans lequel la valeur de la prochaine période doit être prédite 981 fois Loin de la valeur moyenne de cette période. Si 981 1 est négatif, il prédit un comportement de réversion moyenne avec l'alternance des signes, c'est-à-dire qu'il prédit également que Y sera inférieur à la moyenne de la période suivante si elle est supérieure à la moyenne de cette période. Dans un modèle autorégressif du second ordre (ARIMA (2,0,0)), il y aurait un terme Y t-2 sur la droite aussi, et ainsi de suite. Selon les signes et les grandeurs des coefficients, un modèle ARIMA (2,0,0) pourrait décrire un système dont la réversion moyenne se fait d'une manière oscillatoire sinusoïdale, comme le mouvement d'une masse sur un ressort soumis à des chocs aléatoires . Randonnée aléatoire ARIMA (0,1,0): Si la série Y n'est pas stationnaire, le modèle le plus simple possible est un modèle de marche aléatoire, qui peut être considéré comme un cas limite d'un modèle AR (1) dans lequel le modèle autorégressif Coefficient est égal à 1, c'est-à-dire une série à réversion moyenne infiniment lente. L'équation de prédiction pour ce modèle peut s'écrire: où le terme constant est le changement moyen de période à période (c'est-à-dire la dérive à long terme) dans Y. Ce modèle pourrait être adapté comme un modèle de régression sans interception dans lequel La première différence de Y est la variable dépendante. Comme il comprend une différence non saisonnière et un terme constant, il est classé en tant que modèle de type ARIMA (0,1,0) avec constant. quot Le modèle aléatoire-sans-dérive serait un ARIMA (0,1, 0) modèle sans modèle constant autorimétrique ARIMA (1,1,0) différencié: Si les erreurs d'un modèle de marche aléatoire sont autocorrélées, peut-être le problème peut-il être fixé en ajoutant un décalage de la variable dépendante à l'équation de prédiction - - c'est à dire En faisant régresser la première différence de Y sur elle-même décalée d'une période. Cela donnerait l'équation de prédiction suivante: qui peut être réarrangée à. Ceci est un modèle autorégressif de premier ordre avec un ordre de différenciation non saisonnière et un terme constant - c'est-à-dire. Un modèle ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sans lissage exponentiel simple constant: Une autre stratégie pour corriger les erreurs autocorrélées dans un modèle de marche aléatoire est suggérée par le modèle de lissage exponentiel simple. Rappelons que pour certaines séries temporelles non stationnaires (par exemple celles qui présentent des fluctuations bruyantes autour d'une moyenne variable lentement), le modèle de marche aléatoire n'obtient pas une moyenne mobile des valeurs passées. En d'autres termes, plutôt que de prendre l'observation la plus récente comme la prévision de la prochaine observation, il est préférable d'utiliser une moyenne des dernières observations afin de filtrer le bruit et de mieux estimer la moyenne locale. Le modèle de lissage exponentiel simple utilise une moyenne mobile exponentiellement pondérée des valeurs passées pour obtenir cet effet. L'équation de prédiction pour le modèle de lissage exponentiel simple peut être écrite en un certain nombre de formes mathématiquement équivalentes. Dont l'une est la forme dite de correction d'erreur 8221, dans laquelle la prévision précédente est ajustée dans la direction de l'erreur qu'elle a faite: Comme e t-1 Y t-1 - 374 t-1 par définition, ceci peut être réécrit comme : Qui est une équation de prévision ARIMA (0,1,1) sans constante avec 952 1 1 - 945. Cela signifie que vous pouvez ajuster un lissage exponentiel simple en le spécifiant comme un modèle ARIMA (0,1,1) sans Constante, et le coefficient MA (1) estimé correspond à 1-moins-alpha dans la formule SES. Rappelons que dans le modèle SES, l'âge moyen des données dans les prévisions de 1 période à venir est de 1 945. ce qui signifie qu'elles auront tendance à être en retard par rapport aux tendances ou aux points de retournement d'environ 1 945 périodes. Il s'ensuit que l'âge moyen des données dans les prévisions à 1 période d'un modèle ARIMA (0,1,1) sans modèle constant est de 1 (1 - 952 1). Ainsi, par exemple, si 952 1 0.8, l'âge moyen est 5. Alors que 952 1 approche de 1, le modèle ARIMA (0,1,1) sans constante devient une moyenne mobile à très long terme et 952 1 Approche 0, il devient un modèle aléatoire-marche-sans-dérive. Dans les deux modèles précédents décrits ci-dessus, le problème des erreurs autocorrélées dans un modèle de marche aléatoire a été fixé de deux manières différentes: en ajoutant une valeur décalée de la série différenciée À l'équation ou en ajoutant une valeur décalée de l'erreur de prévision. Quelle approche est la meilleure Une règle de base pour cette situation, qui sera discutée plus en détail plus tard, est que l'autocorrélation positive est le mieux traitée en ajoutant un terme AR au modèle et l'autocorrélation négative est généralement mieux traitée en ajoutant un Terme MA. Dans les séries économiques et économiques, l'autocorrélation négative apparaît souvent comme un artefact de différenciation. (En général, la différenciation réduit l'autocorrélation positive et peut même provoquer un basculement de l'autocorrélation positive à négative.) Ainsi, le modèle ARIMA (0,1,1), dans lequel la différenciation est accompagnée d'un terme MA, est plus souvent utilisé qu'un Modèle ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) avec lissage exponentiel simple et constant avec croissance: En implémentant le modèle SES en tant que modèle ARIMA, vous gagnez en fait une certaine souplesse. Tout d'abord, le coefficient de MA (1) estimé peut être négatif. Cela correspond à un facteur de lissage supérieur à 1 dans un modèle SES, ce qui n'est généralement pas autorisé par la procédure de montage du modèle SES. Deuxièmement, vous avez la possibilité d'inclure un terme constant dans le modèle ARIMA si vous le souhaitez, afin d'estimer une tendance moyenne non nulle. Le modèle ARIMA (0,1,1) avec constante a l'équation de prédiction: Les prévisions à une période de ce modèle sont qualitativement similaires à celles du modèle SES, sauf que la trajectoire des prévisions à long terme est typiquement un (Dont la pente est égale à mu) plutôt qu'une ligne horizontale. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sans lissage exponentiel linéaire constant: Les modèles de lissage exponentiel linéaire sont des modèles ARIMA qui utilisent deux différences non saisonnières en conjonction avec des termes MA. La seconde différence d'une série Y n'est pas simplement la différence entre Y et elle-même retardée par deux périodes, mais plutôt c'est la première différence de la première différence - i. e. Le changement de la variation de Y à la période t. Ainsi, la deuxième différence de Y à la période t est égale à (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Une seconde différence d'une fonction discrète est analogue à une dérivée seconde d'une fonction continue: elle mesure la quotation ou la quotcurvature dans la fonction à un moment donné. Le modèle ARIMA (0,2,2) sans constante prédit que la seconde différence de la série est égale à une fonction linéaire des deux dernières erreurs de prévision: qui peuvent être réarrangées comme: où 952 1 et 952 2 sont les MA (1) et MA (2) coefficients. Il s'agit d'un modèle de lissage exponentiel linéaire général. Essentiellement le même que le modèle Holt8217s, et le modèle Brown8217s est un cas spécial. Il utilise des moyennes mobiles exponentiellement pondérées pour estimer à la fois un niveau local et une tendance locale dans la série. Les prévisions à long terme de ce modèle convergent vers une droite dont la pente dépend de la tendance moyenne observée vers la fin de la série. ARIMA (1,1,2) sans lissage exponentiel linéaire à tendance amortie constante. Ce modèle est illustré dans les diapositives accompagnant les modèles ARIMA. Il extrapole la tendance locale à la fin de la série, mais l'aplatit à des horizons de prévision plus longs pour introduire une note de conservatisme, une pratique qui a un soutien empirique. Voir l'article sur Quest pourquoi la Tendance amortie travaille par Gardner et McKenzie et l'article de Golden Rulequot par Armstrong et al. Pour plus de détails. Il est généralement conseillé de s'en tenir à des modèles dans lesquels au moins l'un de p et q n'est pas supérieur à 1, c'est-à-dire ne pas essayer d'adapter un modèle tel que ARIMA (2,1,2), car cela entraînera vraisemblablement un overfitting Et quotcommon-factorquot qui sont discutés plus en détail dans les notes sur la structure mathématique des modèles ARIMA. Implémentation de la feuille de calcul: Les modèles ARIMA tels que ceux décrits ci-dessus sont faciles à mettre en œuvre sur une feuille de calcul. L'équation de prédiction est simplement une équation linéaire qui fait référence aux valeurs passées des séries temporelles originales et des valeurs passées des erreurs. Ainsi, vous pouvez configurer une table de prévision ARIMA en stockant les données dans la colonne A, la formule de prévision dans la colonne B et les erreurs (données moins les prévisions) dans la colonne C. La formule de prévision dans une cellule typique de la colonne B serait tout simplement Une expression linéaire faisant référence aux valeurs des lignes précédentes des colonnes A et C multipliées par les coefficients AR ou MA appropriés stockés dans des cellules ailleurs sur la feuille de calcul. La procédure de la série temporelle de l'atelier de formation SPSS en ligne fournit les outils pour créer des modèles, Modèle pour l'analyse des séries temporelles, la décomposition saisonnière et l'analyse spectrale des données de séries temporelles, ainsi que des outils pour calculer les autocorrélations et les corrélations croisées. Les deux clips vidéo suivants illustrent comment créer un modèle de séries temporelles exponentielles de lissage et comment appliquer un modèle de séries temporelles existant pour analyser des données de séries temporelles. MOVIE: Modèle de Lissage Exponentiel MOVIE: Modèle ARIMA Outil Expert Modeler Dans cet atelier en ligne, vous trouverez de nombreux clips vidéo. Chaque clip montrera une utilisation spécifique de SPSS. Créer des modèles TS. Il existe différentes méthodes disponibles dans SPSS pour créer des modèles de séries chronologiques. Il existe des procédures pour le lissage exponentiel, univariée et multivariée Autoregressive Integrated Moving-Average (ARIMA). Ces procédures produisent des prévisions. Méthodes de lissage dans la prévision - Les moyennes mobiles, les moyennes mobiles pondérées et les méthodes de lissage exponentielles sont souvent utilisées dans les prévisions. L'objectif principal de chacune de ces méthodes est de lisser les fluctuations aléatoires de la série chronologique. Ils sont efficaces lorsque la série chronologique ne présente pas d'effets significatifs de tendance, cycliques ou saisonniers. Autrement dit, la série chronologique est stable. Les méthodes de lissage sont généralement bonnes pour les prévisions à courte portée. Moyennes mobiles: Moyennes mobiles utilise la moyenne des valeurs de données k les plus récentes de la série chronologique. Par définition, MA S (valeurs k les plus récentes) k. La moyenne des MA change à mesure que de nouvelles observations deviennent disponibles. Moyenne mobile pondérée: Dans la méthode MA, chaque point de données reçoit le même poids. En moyenne mobile pondérée, nous utilisons des poids différents pour chaque point de données. Lors de la sélection des poids, nous calculons la moyenne pondérée des valeurs de données k les plus récentes. Dans de nombreux cas, le point de données le plus récent reçoit le plus de poids et le poids diminue pour les points de données plus anciens. La somme des poids est égale à 1. Une façon de sélectionner les poids consiste à utiliser des poids qui minimisent le critère de l'erreur carrée moyenne (EQM). Méthode de lissage exponentiel. Il s'agit d'une méthode moyenne pondérée spéciale. Cette méthode sélectionne le poids pour l'observation la plus récente et les poids pour les observations plus anciennes sont calculés automatiquement. Ces autres poids diminuent à mesure que les observations vieillissent. Le modèle de lissage exponentiel de base est où F t 1 prévu pour la période t 1, t observation à la période t. F t Prévision pour la période t. Et un paramètre de lissage (ou constante) (0 lt a lt1). Pour une série chronologique, on fixe F 1 1 pour la période 1 et les prévisions suivantes pour les périodes 2, 3, peuvent être calculées par la formule pour F t 1. En utilisant cette approche, on peut montrer que la méthode de lissage exponentiel est une moyenne pondérée de tous les points de données précédents de la série chronologique. Une fois connue, nous avons besoin de connaître t et F t pour calculer la prévision pour la période t 1. En général, on choisit un a qui minimise la MSE. Simple: approprié pour les séries dans lesquelles il n'y a pas de tendance ou de saisonnalité. Composante Moyenne mobile (q): Les ordres de moyenne mobile spécifient comment les écarts par rapport à la moyenne des séries pour les valeurs précédentes sont utilisés pour prédire les valeurs courantes. Expert Time Series Modeler détermine automatiquement le meilleur ajustement pour les données de séries temporelles. Par défaut, le modélisateur expert considère à la fois le lissage exponentiel et les modèles ARIMA. L'utilisateur peut sélectionner uniquement les modèles ARIMA ou Smoothing et spécifier la détection automatique des valeurs aberrantes. Le clip suivant montre comment créer un modèle ARIMA à l'aide de la méthode ARIMA et de l'Expert Modeler fourni par SPSS. Le jeu de données utilisé pour cette démonstration est le jeu de données AirlinePassenger. Reportez-vous à la page Données pour plus de détails. Les données sur les passagers des lignes aériennes sont données dans la série G dans le livre Time Series Analysis: Forecasting and Control de Box et Jenkins (1976). Le nombre variable est le total mensuel des passagers en milliers. Dans la transformation logarithmique, les données ont été analysées dans la littérature. Appliquer les modèles de séries chronologiques. Cette procédure charge un modèle de série chronologique existant à partir d'un fichier externe et le modèle est appliqué à l'ensemble de données SPSS actif. Cela permet d'obtenir des prévisions pour les séries pour lesquelles des données nouvelles ou révisées sont disponibles sans commencer à construire un nouveau modèle. La boîte de dialogue principale est similaire à la boîte de dialogue principale Créer des modèles. Analyse spectrale . Cette procédure peut être utilisée pour montrer le comportement périodique dans les séries temporelles. Diagrammes de séquences. Cette procédure est utilisée pour tracer les cas en séquence. Pour exécuter cette procédure, vous avez besoin d'une série de données temporelles ou d'un jeu de données qui est trié dans un certain ordre significatif. Autocorrélations. Cette procédure trace la fonction d'autocorrélation et la fonction d'autocorrélation partielle d'une ou plusieurs séries temporelles. Corrélations croisées. Cette procédure trace la fonction de corrélation croisée de deux séries temporelles ou plus pour les retards positifs, négatifs et nuls. Pour plus d'informations sur le modèle de séries chronologiques, l'analyse spectrale, les diagrammes de séquences, les autocorrélations et les procédures de corrélations croisées, consultez le menu d'aide de SPSS. Son atelier de formation en ligne SPSS est développé par le Dr Carl Lee, Dr Felix Famoye. Assistants étudiants Barbara Shelden et Albert Brown. Département de mathématiques, Université de Central Michigan. Tous les droits réservés. ARIMA - Tendances SPSS Introduction Modification Cette procédure estime les modèles ARIMA unidimensionnels non saisonniers et saisonniers (aussi appelés modèles Box-Jenkins) avec ou sans variables de régression fixes. La procédure produit des estimations à maximum de vraisemblance et peut traiter des séries chronologiques avec des observations manquantes. Un exemple Edit Vous êtes responsable du contrôle de la qualité dans une usine de fabrication et devez savoir si et quand les fluctuations aléatoires de la qualité du produit dépassent leurs niveaux habituellement acceptables. Vous avez essayé de modéliser les scores de qualité des produits avec un modèle de lissage exponentiel, mais probablement parce que la nature très erratique de la datathat le modèle ne fait que prédire la moyenne globale et est donc peu utile. Les modèles ARIMA sont bien adaptés pour décrire des séries temporelles complexes. Après la construction d'un modèle ARIMA approprié, vous pouvez tracer les scores de qualité des produits avec les intervalles de confiance supérieur et inférieur produit par le modèle. Les scores qui ne relèvent pas des intervalles de confiance peuvent indiquer une véritable baisse de la qualité du produit. Illustration Edit Pour chaque itération: décalages saisonniers et non saisonniers (moyenne autorégressive et moyenne mobile), coefficients de régression, somme ajustée des carrés et constante de Marquardt. Pour les estimations finales des paramètres de maximum de vraisemblance: somme résiduelle des carrés, somme résiduelle ajustée des carrés, variance résiduelle, erreur type du modèle, probabilité logarithmique, critère d'information Akaikes, critère bayésien de Schwartzs, statistiques de régression, matrice de corrélation et matrice de covariance. La variable dépendante et les variables indépendantes doivent être numériques. Modification de l'hypothèse La série devrait avoir une moyenne constante dans le temps. Blocage des annonces d'interférence détecté Wikia est un site gratuit qui fait de l'argent de la publicité. Nous avons une expérience modifiée pour les téléspectateurs qui utilisent Ad Blockers. Wikia n'est pas accessible si vous avez fait d'autres modifications. Supprimez la (les) règle (s) d'annonceur personnalisé (s) et la page se chargera comme prévu.
No comments:
Post a Comment